陶哲轩：用数独和俄罗斯方块游戏找反例，推翻周期性平铺猜测
·寻觅非周期性平铺计划和相关瓷砖的进程，好像打碎一个花瓶然后再恢复它。不过，研讨者期望花瓶碎裂后构成的是均匀的碎片，且破碎的纹路是“非周期性的”。这样的瓷砖即便铺满全国际，拼接图画也不会重复。
华裔数学家、菲尔兹奖得主、美国加州大学洛杉矶分校数学系教授陶哲轩（Terence Tao）能否寻觅到一块这样的瓷砖，即便用它铺满全国际，其拼接图画也永不重复？近来，数学界的“莫扎特”、华裔数学家、菲尔兹奖得主、美国加州大学洛杉矶分校数学系教授陶哲轩（Terence Tao）在个人博客上宣告，推翻了“周期性平铺猜测”。
他们在超高维空间中找到一块这样的“瓷砖”。
预印本网站arXiv显现，陶哲轩与合作者合著的相关论文于2022年11月29日清晨上传。
但实际上，陶哲轩提早了两个多月就在其博客上宣告了上述音讯；并在9月18日清晨，他们向arXiv网站提交了一篇缩略的“公告”论文——announcement，全文共13页。
而完好版论文共48页。论文标题是《周期性平铺猜测的一个反例》（A counterexample to the periodic tiling conjecture）。
该论文的合著者是原美国加州大学洛杉矶分校数学系Hedrick助理教授、现美国普林斯顿高档研讨院数学学院成员雷切尔·格林菲尔德（Rachel Greenfeld）。她是陶哲轩的博士后。
诺贝尔奖和永不重复的拼图
什么是周期性平铺猜测？
设想用相同巨细的正方形瓷砖，去铺满一个方方正正房间的地上，这好像难度不大。人们只需像“仿制黏贴”相同，不留空隙地将一块块巨细适宜的瓷砖平铺下去就行。在这样的地板上，图画的周期性清楚明晰：假如你将部分图画平移到另一个方位，就跟没有移动过相同。
这或许是最简单的“施工计划”之一，被称为周期性平铺。
周期性平铺和非周期性平铺发生的不同作用。截图来自《Aperiodic Texture Mapping》六年前，2016年2月18日，来自印度孟买塔塔根底研讨所数学院的数学家悉达多·巴塔查里亚（Siddhartha Bhattacharya）在arXiv网站上传预印本论文“Periodicity and decidability of tilings of ℤ^2”，宣告其在二维平面上证明晰“周期平铺猜测”——经过平移，单个瓷砖在平面上只能进行周期性平铺，无法进行非周期性平铺。
数学家们估测，在二维以上更高维度上，也不存在用同一种就完结非周期性平铺的瓷砖。这一假定被称为“周期性平铺猜测”。
换句话说，“周期性平铺猜测”断语，假如只能以平移的办法平铺或填充，那么在恣意维度上（二维及以上），不存在一块能以非周期性的办法铺满整个外表或填充整个空间的特别瓷砖。即便规划出来这样一块瓷砖，那么它也只能以周期性的办法平铺或填满相应的空间。
但“周期性平铺猜测”好像只在二维平面上建立。
彭罗斯瓷砖款式之一。截图自Eureka 39(1978) 16-32早在六十年前，1960年左右，在牛津大学任教的华裔数学家王浩在对美国新泽西州的贝尔电话试验室进行学术访问期间，研讨了周期性平铺问题，并提出“王砖”（或王氏砖、王浩瓷砖，aka Wang squares）模型。
部分王浩瓷砖。来自Parcly Taxel四年后，一种好像更高档的计划呈现了：非周期性平铺。它尽管也是许多块瓷砖拼接在一同，鳞次栉比地铺满整个地板，但其拼接的图画永不重复，即便铺满整个国际也不重复。1964年，王浩的学生Robert Berger提出最早的非周期性平铺计划，需求20426块瓷砖组合。
用“王砖”进行的一种非周期性平铺。来自Claudio Rocchini随后，英国数学物理学家、牛津大学数学系名誉教授罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）把需求的瓷砖组合削减到5种，终究只用2种形状的瓷砖组合，比方一大一小两个菱形，就能够在二维平面上完结非周期性平铺。这种瓷砖被称为彭罗斯瓷砖。它成为数学艺术的标志之一，被铺在牛津大学数学系等闻名大学相关修建物的地板上。相关平铺款式被称为彭罗斯平铺，或彭罗斯镶嵌、彭罗斯密铺、彭罗斯拼图、彭罗斯几许拼图等。
平面上的非周期图画具有一个独特的性质，排布方位的信息好像能够经过某种办法跨过很大间隔进行传递，避免数百（乃至数千、数百万）块之外的瓷砖呈现某种摆放类型。阿肯色大学助理教授埃蒙德·哈里斯（Edmund Harriss）的博士论文主题便是彭罗斯贴砖。他说：“部分束缚鬼使神差地拓宽为大局束缚。”
而彭罗斯瓷砖不只在数学界很有名，在修建装潢范畴乃至资料科学范畴也成功圈粉，给人们带来新的启示。
彭罗斯瓷砖或拼图的款式之一。来自Taktaal1982年，在美国正进行学术度假的以色列资料科学家丹·谢特曼（Dan Shechtman），在试验室里观察到合金的独特衍射图样，不符合此前人们关于晶体的形象，缺少规范的对称。它们原子摆放的姿态，跟彭罗斯地砖拼接的图画相同，对错重复、非周期性的。他后来称之为“准晶体”（quasicrystal）。
丹·谢特曼拍摄到的电子衍射图片。截图自Phys. Rev. Lett. Vol. 53(20),1984丹·谢特曼的论文和他的发现引起了极大的争议和进犯。直到20多年后，2011年，他因“发现准晶体”，被颁发诺贝尔化学奖。
准晶体的电子衍射图片。来自nobelprize.org此外，彭罗斯也是诺贝尔奖得主之一。
1965年1月18日，彭罗斯在《物理谈论快报》（Physical Review Letters）宣布论文，论述了彭罗斯奇点定理。斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）与彭罗斯一同研讨奇点后，以彭罗斯定理推翻了有关世界来源的理论。奇点后来被人们熟知，称为“黑洞”。
2020年，89岁的彭罗斯被颁发诺贝尔物理学奖，赞誉他“发现黑洞的构成是对广义相对论的有力猜测”。他独享一半奖金，与“在银河系的中心发现了一个超大质量细密天体”的德国科学家赖因哈德·根策尔（Reinhard Genzel）和美国科学家安德烈娅·盖兹（Andrea Ghez）共享了2020年的诺贝尔物理学奖。
但问题是，一向没人用一块瓷砖完结非周期平铺“游戏”。直到最近，陶哲轩和合作者在超高维空间找到一块这样独特的“瓷砖”。
用数独、俄罗斯方块游戏寻觅一个反例
寻觅非周期性平铺计划和相关瓷砖的进程，好像打碎一个花瓶然后再恢复它。不过，研讨者期望花瓶碎裂后构成的是均匀的碎片，且破碎的纹路是“非周期性的”。
从在二维平面“拼图”到更高维空间里“堆积木”，陶哲轩期望找到一块能够完结非周期性地堆叠的单一“瓷砖”。
立方形密铺。来自Tomruen在解说其最新证明战略和办法的博客文章中，陶哲轩说到数独和俄罗斯方块游戏，还有电脑编程。
在印度数学家悉达多·巴塔查里亚证明“周期平铺猜测”在二维平面上建立三年后，2019年，格林菲尔德以博士后身份来到加州大学洛杉矶分校。随后，她和陶哲轩用不同于悉达多·巴塔查里亚的另一种办法，再次证明晰二维平面中的“周期平铺猜测”。可是，当他们想推进到在三维空间中也证明这一猜测时，受阻了。
陶哲轩说，无法在更高维度上证明这个猜测建立也许是有原因的，应该开端寻觅反例。
2021年8月，他们第一次挨近方针：他们在超高维空间找到了两块能够完结非周期性填充的瓷砖，但不是一块。
2021年8月17日，格林菲尔德在arXiv网站上传她和陶哲轩一起署名的论文，标题是“Undecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile”。六天后，她上传了更新版。
“2十分挨近了，但还不行。” 格林菲尔德说。
像“俄罗斯方块游戏”相同消行。截图自陶哲轩2022年9月19日的博客文章2022年9月19日，陶哲轩在其博客文章中表明，“格林菲尔德和我刚刚将咱们的公告——‘周期性平铺猜测的反例’上传到 arXiv。这是咱们现在正在编撰（并期望在几周内发布）的一篇更长的论文的公告。其间，咱们推翻了 Grünbaum-Shephard 和 Lagarias-Wang 的周期性平铺猜测。”
在上述博客文章中，陶哲轩写道，他们创建了一种“平铺言语”（“tiling language”），运用平铺方程组来描绘非周期函数。“这个证明，让人激烈地联想到处理数独谜题所需的推理类型，因而，咱们在论点中采用了一些相似数独的术语来供给直觉和视觉作用。一个关键步骤是，对拼图进行剪切改换……然后履行消除常量行的‘俄罗斯方块’移动以得出次级数独谜题，然后顺次剖析该谜题。正是这个进程的迭代终究生成了非周期性p-adic结构。”
在其两个月后、11月29日的博客文章中，陶哲轩写道：“格林菲尔德和我刚刚将论文上传到 arXiv。这是我几个月前在这个博客上发布的成果的完好版别……这篇论文完结的时间比预期的要长一些，这是因为咱们在发布公告时没有意识到的一个技术问题需求个处理办法。”
陶哲轩进一步解说说，如公告中所述，开始的战略是构建一种“平铺言语”——一种能够用来编码“P进数数独谜题”（P-adic Sudoku puzzle）的言语；然后证明假如P是一个足够大的素数，那么后一种类型的谜题只要非周期性的处理计划。“事实证明，该战略的后半部分成功了。”“在编程进程中，咱们还发现，一旦引进‘可表达特点’和‘弱表达特点’两个新界说，证明的编码部分将变得愈加模块化和概念化。”
陶哲轩和格林菲尔德将他们的方程式体系看作一个核算机程序：每一行代码或方程式都是一个指令，这些指令组合起来能够生成一个完结特定方针的程序。
终究，他们在一个十分高维度的空间中，尚未被具体核算，但大约2^100^100维里，找到一块方针“瓷砖”——一块十分复杂、弯弯曲曲、充溢孔洞的“瓷砖”。
此外，陶哲轩表明，运用他们最新发明的“言语”应该能发明一个无法断定的谜题。“（比方）或许存在一些瓷砖，咱们永久也无法证明，它是否能铺满它地点的空间。”
既无法证明也无法辩驳，数学中充溢了这样的“不行断定”（undecidable）的陈说。为了证明一个陈说是不行断定的，数学家一般证明它等价于另一个已知不行断定的问题。所以，假如平铺问题被证明是不行断定的，它将能够作为新东西，证明更多其他问题的不行断定性。
格林菲尔德的简历显现，其研讨课题“平移平铺和正交体系指数”（translational tiling and orthogonal systems exponentials）获得了美国国家科学基金会（NSF）11.7056万的赞助，编号是DMS-2242871，赞助期限是2022年到2025年。
参考资料：
1.https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/#newsletter
2.https://nautil.us/impossible-cookware-and-other-triumphs-of-the-penrose-tile-rp-234895/?_sp=1048d065-5002-434f-85c5-fa868cbccae2.1671370700212
3.https://huanqiukexue.com/a/qianyan/cailiao__huaxue/2017/0527/27301.html
4.https://terrytao.wordpress.com/2022/09/19/a-counterexample-to-the-periodic-tiling-conjecture/
5.https://arxiv.org/abs/1602.05738
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